Superefficient drift estimation on the Wiener space

Il est bien connu que l’estimateur du maximum de vraisemblance μ̂ de la moyenne μ ∈ R d’un vecteur gaussien X dans R de covariance σI sous une probabilité Pμ est égal à X lui-même, et atteint la borne de Cramer-Rao σd. Dans [2], Stein a construit des estimateurs de μ ∈ R de la forme X + σ grad log f(X) en utilisant la formule d’intégration par parties sur R par rapport à la densité gaussienne. Ces estimateurs sont suroptimaux lorsque √ f est une fonction surharmonique sur R. Dans cette Note nous construisons des estimateurs nonparamétriques de type Stein pour la dérive déterministe d’un mouvement brownien Xt de variance σ 2 en utilisant la formule d’intégration par parties du calcul de Malliavin et l’analyse harmonique sur l’espace de Wiener. Ici, le processus û = (Xt)t∈[0,T ] est considéré comme un estimateur du maximum de vraisemblance (EMV) de sa propre dérive (ut)t∈[0,T ] sous Pu, qui atteint la borne de Cramer-Rao σT /2 sur tous les estimateurs adaptés et sans biais de (ut)t∈[0,T ]. Dans ce contexte nous construisons aussi des estimateurs de Bayes admissibles, et montrons que û est minimax. A l’aide du gradient de Malliavin D nous obtenons l’identité